Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 82. Разложение амплитуды рассеяния по парциальным волнам

Пусть внутри сферы радиуса имеется потенциал и пусть вне этой сферы потенциал равен нулю. В этом потенциальном поле рассеивается пучок частиц, описываемый плоской волной. Воспользовавшись разложением в ряд по парциальным волнам, вычислить амплитуду рассеяния и выразить ее затем через значения логарифмических производных парциальных волн на сфере

Решение. В области волновую функцию можно записать в виде

где

Граничные условия определяют функции с точностью до постоянной амплитуды, но логарифмические производные,

от этой постоянной амплитуды не зависят. Ниже предполагается, что величины известны.

Вне сферы можно написать

Если бы все это выражение совпадало бы с разложением плоской волны из задачи 81; члены, пропорциональные сферическим функциям Ханкеля первого рода, соответствуют наличию дополнительных расходящихся сферических волн. Действительно,

Вспомнив далее асимптотическое поведение функций

находим, что на больших расстояниях разложение (82.4) для и ведет себя как

Основываясь на законе сохранения числа частиц при упругом рассеянии, можно заключить, что квадраты модулей амплитуд сходящихся и расходящихся волн должны совпадать, а именно

Другими словами, должно выполняться равенство

с учетом которого разложение (82.6) можно записать в более компактной форме

где величины как очевидно, представляют собой асимптотический сдвиг фаз решения уравнения (82.2) по отношению к решению (82.56) уравнения Шредингера для свободного движения.

Амплитуда рассеяния связана с рассеянной волной соотношением

поэтому

С учетом равенства (82.8) эту формулу можно записать несколько иначе:

Теперь нам осталось выразить коэффициенты через логарифмические производные определенные посредством формулы (82.3). Последняя задача решается с помощью условий непрерывности функций и на поверхности сферы Мы имеем

Здесь штрих означает производную не по а по Деля второе из приведенных соотношений на первое, имеем

и отсюда находим

Разумеется, полученное выражение опять удовлетворяет закону сохранения числа частиц (82.7). В этом нетрудно убедиться, введя сферические функции Ханкеля второго рода и исключив функции с помощью соотношения

если учесть, что при действительных значениях аргумента функции комплексно сопряжены с функциями Щи Действительно, в соотношении

числитель дроби комплексно сопряжен с ее знаменателем, поэтому в полном согласии с равенством (82.7).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление