Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 84. Рассеяние на сферически симметричном прямоугольном потенциальном барьере

Дан потенциал при при Для случая найти зависимость фазы рассеяния и парциального сечения от энергии падающих частиц.

Решение. Вводя обозначения

можно записать радиальную волновую функцию следующим образом:

если энергия меньше порогового значения то

если же энергия выше порогового значения то

в последнем случае величина к оказывается чисто мнимой: . У волновой функции вне сферы нормировка во всех случаях одинакова, поэтому амплитуды характеризуют степень возбуждения области, заключенной внутри сферы. Заметим, что приведенные выше выражения уже написаны с учетом граничного условия.

Непрерывность функций в точке предполагает непрерывность логарифмической производной, значение которой при т. е.

можно получить двумя способами, беря для волновой функции выражения, соответственно справедливые либо в области либо в области Таким образом, имеем

и

Только в случае решение во внутренней области оказывается периодическим и выражение для амплитуды А представляет интерес:

Прежде всего обсудим полученные формулы для предельно низких энергий. Когда величину к следует заменить величиной Кроме того, чтобы величина была конечной, аргумент котангенса в правой части равенства (84.4а) должен стремиться к нулю как Таким образом, в этом предельном случае равенство (84.4а) принимает вид

и, следовательно,

Если высота потенциального барьера очень велика (т. е. жесткая сфера), то при всех энергиях мы можем

пренебречь величиной по сравнению с поэтому соотношение и равенство (84.6) будут иметь место для всех энергий. Это означает, что величина фазы растет линейно с ростом параметра как показано на фиг. 43 (прямая линия Кривая 2 на этой же фигуре рассчитана по формулам (84.4а) и (84.46) для численного значения параметра Мы видим, что даже на начальном участке, т. е. вблизи наклон фазовой кривой для потенциального барьера конечной высоты заметно отличается от наклона фазовой кривой в случае рассеяния на жесткой сфере.

Фиг. 43. Зависимость фазы 60 от Прямая линия 1 соответствует случаю жесткой сферы кривая 2 построена для случая Пунктирная линия построена на основании первого борновского приближения. Резонансы (максимумы амплитуды) отмечены кружками, минимумы амплитуды — крестиками.

Это является характерной особенностью квантовой механики, согласно которой частицы могут проникать внутрь потенциальной сферы даже тогда, когда их энергия не превышает порогового значения, причем глубина проникновения зависит от высоты потенциального барьера. В классической механике, где такое проникновение попросту невозможно, высота потенциального барьера не может сказаться на рассеянии частиц, энергия которых меньше пороговой.

Если энергия (или параметр увеличиваясь, начинает превышать высоту потенциального барьера, то фазовая кривая 2 сначала достигает минимума, а затем начинает приближаться к нулю, имея при этом отчетливо выраженный ступенчатый характер. В предельном случае очень больших энергий разумеется, снова так как при потенциальный барьер не является для частиц существенным препятствием. Причину ступенчатого характера фазовой кривой можно понять, вычислив по формуле (84.5) амплитуду А волновой функции во

внутренней области. Для случая результаты этих расчетов показаны на фиг. 44, а. Мы видим, что имеются такие значения такие длины волн стационарного пучка частиц, на которых происходит возбуждение колебаний внутренней части потенциальной сферы и возникают максимумы амплитуды А. Следовательно, существуют такие полосы частот, при которых колебания внутренней области попадают в резонанс с колебаниями, воздействующими на нее извне.

Фиг. 44. а — амплитуда А волновой функции внутри области, занятой барьером в зависимости от энергии. Кривая имеет резонансный характер. б - логарифмическая производная волновой функции Сингулярности соответствуют резонансным значениям энергии.

Между каждой парой резонансов имеются минимумы амплитуды А, где 1; это происходит всякий раз, когда или Каждому такому минимуму амплитуды соответствует нуль логарифмической производной (она показана на фиг. 44, б), поэтому при волновая функция имеет горизонтальную касательную и одну и ту же амплитуду внутри и вне рассеивающей сферы. Между этими значениями энергии вблизи точек т. е. вблизи сингулярностей величины располагаются резонансные энергии. В самих же этих точках волновая функция при обращается в нуль, но ее касательная при переходе через точку не меняет своего наклона, благодаря чему амплитуда во внутренней области с ее более высокими

значениями длин волн достигает наибольшего возможного значения.

Далее, мы знаем общую закономерность всех резонансных явлений — при прохождении через резонанс фаза (в идеальном случае) скачком изменяется на я. Этой закономерностью и объясняется резкий рост фазы между точками, соответствующими минимумам амплитуды (на кривой 2 фиг. 43 они отмечены крестиками, а резонансы — кружками).

Зная фазовую кривую, нетрудно рассчитать зависимость парциального сечения рассеяния

от параметра Результаты этих расчетов представлены на фиг. 45.

Фиг. 45. Зависимость сечения -рассеяния от (в двух различных масштабах). Вкладом высших значений момента I можно пренебречь только при Резонансный максимум вблизи в эксперименте будет выражен по этой причине менее отчетливо.

В низкоэнергетическом пределе, когда фаза , согласно равенству (84.6), становится малой величиной, так что в формуле можно заменить его аргументом:

Величина определенная равенством (84.8), называется длиной рассеяния потенциала. Для нашего числового примера (О роли длины рассеяния см. задачу 88.) По мере роста энергии на виде кривой сечения рассеяния начинают сказываться резонансы, но в нашем примере только первый из них, расположенный вблизи приводит к отчетливо выраженному эффекту. Высшие резонансы почти не заметны на кривой сечения рассеяния. Экспериментальная ситуация в этом отношении еще менее благоприятна, так как здесь приходится иметь дело со все возрастающими вкладами в сечение о от волн с Таким образом, кривая сечения рассеяния содержит не очень много информации.

Замечание. Каким образом фаза рассеяния стремится к нулю при очень больших энергиях, можно выяснить, воспользовавшись первым борновским приближением (см. задачу 105). При имеем

откуда для частного вида потенциала, рассматривавшегося выше, получаем

Рассчитанная по этой формуле фаза рассеяния показана на фиг. 43 пунктирной линией. Для представленной там энергетической области значения фазы рассеяния еще довольно велики, поэтому от борновского приближения не следует ожидать результатов, удовлетворительных в количественном отношении. Замечательно уже то, что даже для этих энергий борновская формула, если отвлечься от смещения резонансов, правильно передает ход фазовой кривой, включая ее ступенеобразный характер; последнее, конечно, объясняется наличием члена с синусом в формуле (84.9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление