Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 89. Низкоэнергетическое рассеяние на сферически симметричной прямоугольной яме

Исследовать низкоэнергетическое разложение

в случае сферически симметричной прямоугольной потенциальной ямы радиуса и глубины (фиг. 52):

а) получить формулу (89.1) непосредственно из граничных условий при

б) использовать общую формулу для полученную в предыдущей задаче, применительно к потенциалу рассматриваемого частного вида.

Фиг. 52. Потенциальная яма с обозначениями, используемыми в тексте. Общий множитель не указан.

Решение. Для заданного потенциала имеем, если

и если

Логарифмическая производная волновой функции состояния с нулевой энергией в точке будет равна

а. Запишем логарифмическую производную функции в точке

Так как

то, решая это уравнение относительно получаем

Разложение в ряд по степеням проще всего сделать в два этапа. Сначала, воспользовавшись тем, что разложим

В результате находим

Следует заметить, что равенства (89.6) и (89.7) выполняются для любого потенциала, лишь бы он обращался в нуль при Специальным видом нашего потенциала мы воспользуемся на втором этапе при разложении логарифмической производной в ряд. Введем обозначения:

Тогда первое равенство (89.5) примет вид

где

и, следовательно,

Отсюда получаем

поэтому первое слагаемое в формуле (89.7) можно разбить на два члена: один из них дает вклад в длину рассеяния,

а другой, пропорциональный в эффективный радиус. Во втором слагаемом в формуле (89.7) в нашем приближении мы можем заменить на и в результате получим

Выразим в последней формуле логарифмическую производную через безразмерную величину

Учитывая теперь, что

и приводя подобные члены, получаем

Теперь нам осталось с помощью равенства (89.4) записать окончательное выражение для длины рассеяния. Оно имеет вид

Формулы (89.13) и (89.14) совместно с равенством (89.1) дают полное решение нашей задачи.

б. Общий метод предыдущей задачи не дает никакого иного пути определения длины рассеяния, кроме пути, основанного на использовании равенства (89.4), что приводит непосредственно к формуле (89.14). Однако для вычисления эффективного радиуса уже нет необходимости вводить или если мы с самого начала пользуемся общим выражением (88.10), которое в обозначениях (89.11) принимает вид

где

Постоянная получается элементарным интегрированием, если учесть, что функция в нашем случае определяется равенством (89.2). Мы имеем

и так как

то выражение для можно преобразовать к виду

Подставляя выражение (89.16) в (89.15), легко получаем для эффективного радиуса формулу (89.13).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление