Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 96. Последовательные приближения для фазы рассеяния

Радиальное уравнение Шредингера для -волны формально можно рассматривать как неоднородное дифференциальное уравнение, считая неоднородностью член, содержащий потенциальную энергию. "Решение" этого уравнения представляет собой интегральное уравнение для функции и его можно решать методом последовательных приближений. Используя указанную процедуру, найти интегральное выражение для второго приближения к функции

Решение. Радиальное уравнение Шредингера при запишем в виде

Здесь и далее мы опускаем индекс 0 у функций и т. д. Рассматривая в этом уравнении правую часть как неоднородность, мы можем выразить его решение через функцию Грина которая является решением уравнений

Таким образом, имеем

Функцию Грина в (96.3) можно выбирать различными способами, для дальнейшего ее удобно взять в виде

так как при этом мы сможем удовлетворить граничному условию просто положив Выбирая далее в качестве условия нормировки, которая не является существенной для определения фаз, условие мы приходим к интегральному уравнению Вольтерра

Расписав , мы можем представить наше решение в виде

где

Обе амплитудные функции и при стремятся к конечным пределам при условии, что потенциал ведет себя как где в этом предельном случае из (96.6а) следует:

Таким образом, фазу рассеяния мы можем определить из соотношения

Выражения (96.66) совместно с соотношением (96.7) дают строгое решение задачи.

Интересующие нас последовательные (борновские) приближения строятся в предположении, что потенциал является величиной первого порядка малости. Для удобства выкладок будем временно писать вместо и разложим функцию в ряд по степеням "параметра порядка"

где индексы, очевидно, означают порядковые номера приближений. Уравнение (96.5) во втором приближении записывается следующим образом:

Отсюда, приравнивая члены одинакового порядка малости, получаем

Здесь представляет собой вклад от невозмущенной плоской волны. В первом порядке имеем расписывая снова так, как это было сделано при получении соотношений (96.6), находим

Таким образом, в первом порядке амплитуду можно отождествить с выражением (96.7), так что для фазы рассеяния мы имеем формулу

которая, действительно, совпадает с формулой первого борновского приближения (см. задачу 106). Во втором порядке к приведенным выражениям мы должны добавить функцию Это даст

Мы видим, что наше приближение представляет собой разложение по отрицательным степеням в соответствии с тем, что борцовский метод применим в области высоких энергий. Наряду с возрастающими отрицательными степенями величины в высших приближениях появляются и все более высокие степени потенциала

Если теперь подставить выражения (96.12) в формулу (96.7) для то величину мы можем разложить аналогичным образом. Так как пропорционально то амплитуду можно взять в первом приближении, если нас интересует результат, верный лишь с точностью до членов включительно.

Таким образом, имеем

После очевидной перегруппировки членов, имеющих порядок окончательному результату можно придать одну из следующих форм:

или

Это есть приближение второго порядка для фазы рассеяния.

Замечание. Данный метод можно применять к парциальным волнам с Единственное отличие состоит в том, что тригонометрические функции придется заменить на сферические функции Бесселя

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление