Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

III. Частицы со спином

А. Одночастичные задачи

Задача 129. Явный вид матриц Паули

Частица со спином обладает тремя фундаментальными особенностями.

1. Ей присущи внутренние векторные свойства, не зависящие от пространственных координат.

2. Соответствующий вектор представляет собой момент количества движения (спин), который должен быть добавлен к обычному орбитальному моменту частицы.

3. Измеряя какую-либо компоненту спина, можно получить только одно из двух значений: или

Перечисленные особенности можно описать с помощью двухкомпонентных волновых функций. Соответствующие им спиновые операторы изображаются двухрядными матрицами, явный вид которых будет найден ниже.

Решение. Пусть

— оператор вектора спина, тогда для его компонент в силу должны иметь место перестановочные соотношения

Они справедливы для операторов момента количества движения. Для безразмерных операторов эти соотношения принимают вид

Согласно собственные значения каждого из операторов , равны +1 и —1, поэтому операторы должны допускать представление в виде двухрядных матриц в двумерном гильбертовом пространстве. Из-за некоммутативности рассматриваемых матриц все они не могут быть диагональными в одной и той же гильбертовой системе координат. Мы выберем последнюю таким образом, чтобы матрица

была диагональной, тогда единичные координатные векторы можно записать в виде

так что

Если частица находится в состоянии, описываемом гильбертовым вектором то в этом состоянии ее спин направлен вдоль положительного (отрицательного) направления оси Матрицы запишем теперь в общем виде:

Чтобы найти матричные элементы, мы сначала воспользуемся двумя перестановочными соотношениями (129.16), линейными относительно матриц

или

и

или

Таким образом, имеем

и нам остается определить лишь два матричных элемента Третье перестановочное соотношение

или

дает еще одно равенство:

Равенства (129.6) и (129.7) все еще оставляют один комплексный параметр, скажем неопределенным. Мы зафиксируем этот параметр, произвольно положив

так что окончательно матрицы Паули примут вид

Равенства (129.9) можно заменить эквивалентной системой равенств

если воспользоваться собственными векторами (129.3) оператора

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление