Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 140. Центральное взаимодействие между нуклонами, зависящее от спина

С разумной степенью точности взаимодействие нейтрона и протона в -состоянии можно описать с помощью центральных сил, имеющих различную величину для симметричного и антисимметричного спиновых состояний. Выразить указанное

взаимодействие через зависящий от спина потенциал, используя для этого

а) обменный спиновый оператор

б) операторы спина нейтрона и протона.

Решение. Центральное взаимодействие означает, что энергия взаимодействия зависит только от расстояния между двумя частицами. Эта энергия должна быть различной в состояниях с разной спиновой симметрией, например в триплетном состоянии, когда спины параллельны, и в синглетном состоянии, когда спины антипараллельны.

а. Пусть -двухчастичная функция. Определим обменный спиновый оператор с помощью равенства

Для симметричного триплетного состояния

поэтому

С другой стороны, для антисимметричного синглетного состояния

и, следовательно,

Таким образом, оба типа функций являются собственными функциями обменного оператора и принадлежат соответственно собственным значениям +1 и —1. Так как три триплетные и одна синглетная функции образуют полный набор, то равенства (140.2а) и (140.26) определяют обменный оператор полностью и притом единственным образом.

Если теперь определить энергию взаимодействия выражением вида

то, согласно (140.2а) и (140.26), должны выполняться равенства

поэтому, выражения

будут описывать энергию взаимодействия соответственно в триплетном и синглетном состояниях. Отсюда следует

б. В конце предыдущей задачи мы показали, что спиновые функции являются собственными функциями оператора причем

Отсюда следует, что оператор линейным образом выражается через оператор . В самом деле, положив

мы убеждаемся, что такой выбор обеспечивает выполнение равенств (140.2а) и (140.26). Поскольку, далее, не существует других спиновых функций двухнуклонной системы, то оба оператора полностью определяются равенствами (140.2а), (140.26) и (140.4), поэтому соотношение (140.5) обладает всей возможной степенью общности.

Исключая с помощью (140.5) оператор из равенства (140.3), окончательно получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление