Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 144. Дейтрон с тензорным взаимодействием

Предположим, что взаимодействие между протоном и нейтроном обусловлено центральными и тензорными силами, т. е.

тогда основное состояние дейтрона должно быть смесью и -состояний. Найти общее выражение волновой функции основного состояния дейтрона и получить для радиальных функций и -состояний систему двух дифференциальных уравнений. Считать, что спин дейтроца направлен по оси

Решение. Спин дейтрона и его проекция на ось равны единице (в единицах поэтому наиболее общая суперпозиция и -состояний должна иметь вид

причем постоянные к и выбираются таким образом, чтобы выполнялось равенство

где - оператор полного момента количества движения (спин дейтрона). Согласно результатам предыдущей задачи, имеем

и, следовательно,

Последнее равенство переходит в равенство (144,3), если положить

поэтому интересующая нас собственная функция полного момента принимает вид

Выражение, стоящее в фигурных скобках в равенстве (144.5), в точности совпадает с одной из комбинаций сферических гармоник и спиновых функций, полученных нами в предыдущей задаче [см. первую из формул (143.9)], поэтому мы можем записать нашу волновую функцию в более компактном виде:

Займемся теперь условием нормировки. Из равенства (144.5) непосредственно следует

Для дальнейшего удобно перейти к новым радиальным функциям, положив

при этом имеем

и

Функция (144.9) должна удовлетворять уравнению Шредингера для относительного движения (мы полагаем приведенная масса равна 1/2, см. задачу 150):

Таким образом, получаем

Оператор если он действует на триплетную спиновую функцию можно линейным образом выразить через оператор

В этом нетрудно убедиться, воспользовавшись справедливым для одночастичных спиновых состояний тождеством

Отсюда следует, что и поэтому

Кроме того, мы уже знаем, что (см. стр. 36), следовательно, в полном согласии с (144.11) имеем

Теперь уравнение (144.10) можно записать в следующем виде:

Оператор стоящий здесь после второй фигурной скобки и действующий на функцию порождает только члены с ортогональные членам с собранным в первой скобке, что позволяет разбить уравнение (144.12) на два отдельных радиальных уравнения:

и

Это и есть искомая система дифференциальных уравнений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление