Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 154. Два атомных электрона в основном состоянии

К-оболочка атома образована двумя электронами в -состоянии. Оценить их энергию, воспользовавшись экранированными водородными волновыми функциями в поле бесконечно тяжелого ядра с зарядом

Решение. Гамильтониан данной задачи, записанный в атомных единицах , выглядит следующим образом:

а приближенная волновая функция, согласно задаче 67, имеет вид

здесь

где -экранировочная постоянная. Следует ожидать, что поскольку действие ядерного заряда на каждый электрон лишь частично экранируется другим электроном. Отдельные сомножители из выражения (154.2) удовлетворяют волновым уравнениям

так что

а выражение для среднего значения энергии принимает вид

Подставляя сюда явное выражение (154.2) для функции и учитывая нормировку каждого сомножителя и, получаем

Первый интеграл в формуле (154.5) вычисляется элементарно:

Чтобы вычислить двойной интеграл

разложим дробь по полиномам Лежандра:

где угол между векторами Вклад в интеграл дает только первый член разложения поэтому имеем

Так как

то все интегралы вычисляются элементарно, и мы получаем

После подстановки значений интегралов (154.6) и (154.7) среднее значение энергии (154.5) принимает вид

До сих пор мы не налагали на значения а никаких ограничений. Теперь же мы потребуем, чтобы значение а было оптимальным в смысле вариационного исчисления, для этого положим

Отсюда получаем

и

Отметим, что при таком значении а функция (154.2) становится точной собственной функцией гамильтониана

допускающего разделение переменных. Сравнивая выражения (154.12) и (154.1), находим

Если рассматривать теперь как энергию возмущения, а экранировочную постоянную выбрать в соответствии с равенством (154.10), то в первом порядке теории возмущений сдвиг рассматриваемого уровня

окажется равным нулю.

В заключение рассмотрим несколько числовых примеров. Развитая теория описывает атомы, у которых удалены все электроны, за исключением двух электронов, находящихся на К-оболочке. Мы располагаем экспериментальными данными для

Во всех этих случаях измеряется не сама энергия а энергия ионизации необходимая для отрыва от иона только одного из двух -электронов. Остающийся ион обладает всего одним электроном, поэтому его энергия равна

а для энергии ионизации получаем

Из приводимой ниже таблицы ясно видно, что согласие экспериментальных данных с формулой (154.13) непрерывно улучшается по мере роста

(см. скан)

Эта закономерность вполне разумна, так как член ответственный за взаимодействие электронов между собой, играет все меньшую роль по мере того, как с ростом увеличивается связь каждого электрона с ядром.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление