Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 162. Обменное вырождение при наличии возбуждения

Два атома водорода покоятся на расстоянии друг от друга и находятся в различных квантовых состояниях: один— в основном -состоянии, а другой — в возбужденном р-состоянии. Как было показано в предыдущей задаче, между атомами имеет место

диполь-дипольное взаимодействие. Убедиться, что теперь даже на больших расстояниях, где по-прежнему можно не учитывать перекрытие волновых функций, первый порядок теории возмущений дает ненулевой вклад в энергию системы, и вычислить соответствующую поправку к невозмущенной энергии.

Решение. Пусть означает волновую функцию отдельного атома в состоянии с квантовыми числами тогда основное состояние будет описываться волновой функцией а три возможных -состояния — волновыми функциями , где . Волновые функции всей системы в нулевом приближении будут иметь вид произведений, и мы их обозначим через

причем первая пара квантовых чисел здесь относится к первому атому, а вторая пара — ко второму.

Оператор (161.5) мы по-прежнему будем рассматривать в качестве энергии возмущения. Вводя обозначения

его можно записать в виде

Оператор (162.3) линейно зависит от координат каждого электрона, и, следовательно, его матричные элементы, вычисленные с помощью функций типа (162.1), будут отличны от нуля только в тех случаях, когда в них комбинируются и -состояния для обоих электронов одновременно. Эти матричные элементы имеют вид

В силу билинейной структуры оператора Я, определяемого (162.3), их можно представить в виде суммы произведений матричных элементов отдельных атомов:

Обозначая через радиальную часть волновой функции отдельного атома и полагая для простоты

получаем следующий результат для матричных элементов, фигурирующих в правой части формулы (162.4):

При всех других комбинациях квантовых чисел эти матричные элементы обращаются в нуль. Таким образом, имеем

Мы видим, что матричный элемент (162.7) отличен от нуля только при условии

Все шесть волновых функций нулевого приближения (162.1) принадлежат одному и тому же собственному значению, и чтобы найти поправку к энергии в первом порядке теории возмущений, мы должны решить секулярное уравнение. Если искомая поправка, а функции нулевого приближения расположены в нижеследующем порядке:

то наше секулярное уравнение будет иметь вид

где

Этот определитель можно разложить на три определителя второго порядка, что существенно упрощает его вычисление. Результаты расчетов приведены в нижеследующей таблице.

(см. скан)

Здесь означает сумму квантовых чисел для обоих атомов и, следовательно, характеризует проекцию полного орбитального момента электронов на ось молекулы, а для классификации состояний использованы обозначения, принятые в молекулярной спектроскопии. Символы 2 и относятся соответственно к состояниям с , а индексы к четным и нечетным волновым функциям. Два -состояния обладают одинаковой энергией, и поэтому все еще вырождены. Это же замечание относится и к двум -состояниям. Последний столбец в таблице дает энергию взаимодействия в единицах

Если пользоваться атомными единицами, то водородоподобные волновые функции (см. задачу 67) будут иметь вид

и интеграл (162.5) нетрудно вычислить:

Тогда для на основании формулы (162.9) получим

где -радиус боровской орбиты. Мы видим, что во всех состояниях энергия взаимодействия пропорциональна Таким образом, на больших расстояниях она убывает медленнее энергии взаимодействия, которая соответствует силам Ван-дер-Ваальса и пропорциональна Знак рассматриваемого взаимодействия зависит от состояния системы: в состояниях и атомы отталкиваются, а в состояниях и притягиваются.

Литература

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление