Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

V. Нестационарные задачи

Задача 179. Двухуровневая система под действием не зависящего от времени возмущения

Система обладает только двумя стационарными состояниями с энергиями . В момент времени когда система находилась в основном состоянии, было включено не зависящее от времени возмущение Вычислить вероятность обнаружения системы в том или ином из ее возможных состояний в момент времени

Решение. Пусть Я означает гамильтониан невозмущенной системы, так что два ее возможных стационарных состояния описываются уравнениями

Тогда решение уравнения Шредингера при наличии возмущения

можно выразить через стационарные состояния:

Эта возможность обусловлена тем, что состояния образуют полный ортонормированный набор состояний и соотношение (179.3) представляет собой просто напросто разложение состояния по указанному полному набору, причем коэффициенты разложения являются функциями времени и должны определяться из начальных условий

Если выражение (179.3) подставить в уравнение (179.2) и умножить это уравнение почленно на или на то в результате для определения коэффициентов мы найдем два

дифференциальных уравнения первого порядка:

Пусть для краткости

тогда в силу эрмитовости оператора диагональные матричные элементы будут действительными, а недиагональные матричные элементы будут связаны соотношением

Пользуясь обозначением

есть, очевидно, разность энергий двух рассматриваемых состояний), уравнения (179.5) можно переписать следующим образом:

Решение этой системы ищем в виде

После подстановки выражений (179.8) в систему уравнений (179.7) получаем

Определитель этой системы линейных алгебраических уравнений обращается в нуль при двух значениях частоты со:

где

Далее имеем

и, следовательно,

Постоянные можно исключить, воспользовавшись начальными условиями (179.4). Несложные вычисления приводят к следующему результату:

Отсюда для вероятности обнаружить систему в возбужденном состоянии получаем

Последнее выражение с учетом (179.10) принимает вид

Вероятность обнаружить систему в исходном основном состоянии определяется выражением

или

Заметим, что сумма выражений (179.13) и (179.14) равна единице. Таким образом, рассматриваемая система осциллирует между двумя стационарными состояниями с периодом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление