Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 194. Зарядовое сопряжение

Зная спинор являющийся решением уравнения Дирака для частицы с зарядом построить зарядово сопряженный спинор описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака

Решение. В этой задаче ради краткости мы будем пользоваться обозначением

где компоненты 4-потенциала электромагнитного поля. В этих обозначениях уравнение Дирака для частицы с зарядом имеет вид

Спинор описывающий поведение частицы с зарядом противоположного знака, должен удовлетворять уравнению

Наша задача — установить связь между решением уравнения (194.2) и решением уравнения (194.1).

Прежде всего заметим, что оператор фигурирующий в уравнении (194.2), появляется также и в уравнении

которое представляет собой уравнение, сопряженное исходному уравнению (194.1). Производя в этом уравнении операцию транспонирования, находим

где

Умножим последнее уравнение на некоторое клиффордово число С:

Полученное таким образом уравнение будет тождественно уравнению (194.2), если клиффордово число С одновременно удовлетворяет двум соотношениям

Чтобы найти величину С, исключим из этих соотношений спинор

Так как далее спинор следует считать произвольным, то должны выполняться соотношения

из них и определяется величина С.

Поскольку мы имеем дело с однородными уравнениями, то в спиноре всегда содержится произвольный постоянный множитель. Разумно зафиксировать этот множитель, постулируя, что зарядовое сопряжение не приводит к изменению нормировки:

Теперь в силу соотношений (194.5) имеем

и, следовательно,

Последнее соотношение идентично соотношению (194.7), если

или (поскольку соотношению

Таким образом, С — унитарный оператор.

Заметим, что в стандартном представлении

поэтому из соотношений (194.6) следует, что С коммутирует с и у, и антикоммутирует Такими свойствами обладает клиффордово число

которое и является единственным элементом из всех 16 базисных элементов клиффордовой алгебры, удовлетворяющим четырем соотношениям (194.6). Как следует из (194.10)

поэтому, согласно (194.5), зарядово сопряженная волновая функция в стандартном представлении имеет вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление