Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 135. Среднее значение магнитного момента

Для электрона со спином в центральном поле вычислить средние значения всех трех проекций векторов а также вектора магнитного момента.

Решение. Пусть

собственный спинор, тогда

Согласно результатам задачи 133 для собственных спиноров имеем

где

и

Таким образом, в выражениях (135.1), которые используются для вычисления средних значений отдельные члены будут содержать произведения различных сферических функций, поэтому

С другой стороны, для среднего значения и нормировочного интеграла мы соответственно имеем

и

Отсюда следует

В состояниях с имеем

если

Средние значения проекций орбитального момента можно получить аналогичным образом, рассматривая выражение

Так как операторы изменяют второй индекс сферической функции на ±1, то средние значения снова обращаются в нуль (см. задачу 58), а для среднего значения имеем

или

Если воспользоваться формулой (135.6), то последнему результату можно придать более простой вид:

Эту формулу мы могли бы получить сразу, если бы учли, что и есть собственный спинор оператора принадлежащий собственному значению

Средние значения также равны нулю, поскольку равны нулю средние значения соответствующих проекций векторов

Оператор магнитного момента имеет вид

где — электрический заряд электрона. Средние значения проекций магнитного момента на оси х и у обращаются в нуль, однако

что с учетом формулы (135.8) можно записать в виде

Отсюда, принимая во внимание соотношения (135.7а) и (135.76), находим, что в состояниях с

а в состояниях с

Замечание. Приведенные формулы показывают, что в замкнутой подоболочке результирующий магнитный момент равен нулю как в случае так и в случае

Множитель, стоящий в формулах (135.11а) и (135.116) при величине называется g-фактором Ланде рассматриваемого состояния. Он позволяет записать величину в виде

Отсюда видно, что g-фактор Ланде описывает отклонение от классического соотношения Максвелла между магнитным и механическим моментами частицы, обусловленное наличием у частицы спина.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление