Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 199. Ток проводимости и ток поляризации

а) Показать, что плотность тока частицы с зарядом

удовлетворяет уравнению непрерывности

б) Показать, что вектор можно разбить на две части:

причем пространственные компоненты тока проводимости совпадают по форме с компонентами плотности тока в нерелятивистской теории. Вторая часть плотности тока известна под названием тока поляризации.

Решение

а. Чтобы убедиться в справедливости уравнения (199.2), мы должны в дополнение к уравнению Дирака

где

рассмотреть аналогичное дифференциальное уравнение для функции Так как величины и -действительные, а величины чисто мнимые, то операторы, комплексно сопряженные операторам

имеют вид

Запишем уравнение, сопряженное уравнению (199.4а):

После подстановки оно принимает вид

так что окончательно имеем

Исключая из уравнений (199.4а) и (199.46) массовые члены, получаем

Члены, содержащие 4-вектор потенциала а, взаимно сокращаются, и мы имеем

что полностью согласуется с уравнением непрерывности (199.2).

б. Как было показано в задаче 126, нерелятивистская плотность тока определяется выражением

и, следовательно, содержит билинейные комбинации волновых функций и их пространственных производных. Чтобы придать плотности тока определенной выражением (199.1), аналогичную форму, мы должны либо выразить с помощью уравнения (199.4а) функцию через ее первые производные, либо с помощью уравнения (199.46) сделать то же самое для функции Поступая указанным образом, получаем

Беря полусумму приведенных выражений и учитывая, что

запишем плотность тока в более симметричном виде:

Пользуясь далее для преобразования второго и третьего членов перестановочным соотношением

получаем

Если в последнем выражении выделить диагональный член суммы, то оно запишется в виде

В этом окончательном результате первый член по форме в точности совпадает с нерелятивистским выражением (199.5) и в согласии с нашим определением его можно отождествить с током проводимости Второй же член представляет собой так называемый ток поляризации

Замечание. Это разложение плотности тока впервые было исследовано в работе Гордона Пространственную часть плотности тока поляризации можно записать в виде

где

— компоненты вектора спина, записанные с помощью приводимых четырехрядных матриц, матрицы, определенные в конце задачи 189. В случае плоской волны ток поляризации обращается в нуль.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление