Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 200. Уравнение Дирака в двухкомпонентной записи

Записать уравнение Дирака в гамильтоновои форме и, пользуясь стандартным представлением, расщепить четырехкомпонентное уравнение на пару двухкомпонентных уравнений, содержащих матрицы Паули. Показать, что частица с "равной нулю массой покоя (например, нейтрино) допускает описание в рамках двухкомпонентной теории.

Решение. Если в уравнении Дирака

явным образом выделить производную по времени, то его можно записать в виде

Умножая это уравнение слева на получаем

или

где оператор

можно рассматривать в качестве гамильтониана.

В стандартном представлении

Здесь матрицы Паули, а - единичная и нулевая двухрядные матрицы соответственно. Далее имеем

поэтому гамильтониан (200.2) можно записать в расщепленной форме

Если ввести двухкомпонентные функции и связанные с четырехкомпонентным дираковским спинором соотношением

то уравнение Дирака расщепится на пару двухкомпонентных уравнений:

В частности, в случае стационарных состояний с положительной энергией получаем

Теория нейтрино. Если то вышеприведенные уравнения совпадают между собой, поэтому

а два линейно независимых решения должны определяться из уравнения

Так как эти две системы никак не связаны, то в случае частиц с равной нулю массой покоя имеются две независимые двух-компонентные теории. Нетрудно показать, что в отсутствие внешних сил параметр X совпадает с квантовым числом, используемым для характеристики спиральности. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси

где С — постоянный двухкомпонентный спинор. В этом случае первый член в левой части уравнения (200.9) приобретает вид

в то время как второй член будет равен

и, следовательно,

Таким образом, X есть собственное значение компоненты оператора спина (в единицах в направлении распространения волны ("спиральность"). Так как матрица Паули диагональна,

то при решением уравнения (200.10) является спинор

поэтому

В случае же отрицательной спиральности решением упомянутого уравнения является спинор

и поэтому

Замечание. Как показали эксперименты, спиральность нейтрино всегда отрицательна, т. е. поэтому только второй вариант развитой выше теории правильно описывает фактически происходящие явления природы. Рассмотрим в этой связи оператор

который в стандартном представлении имеет вид

Далее имеем

Если подействовать этими операторами на любое решение уравнения (200.9) с т. е. на решение вида

то получим

Действие же этих операторов на решения уравнения (200.9) с к т. е.. на решения вида

дает

В силу полученных результатов мы не можем решить, реализуются ли в природе по каким-то неизвестным причинам только одни состояния или же оператор взаимодействия, ответственный за рождение нейтрино, содержит множитель так что рождение нейтрино с становится невозможным. В заключение надо отметить, что оператор не коммутирует с оператором пространственной инверсии, и в таких взаимодействиях пространственная четность не сохраняется.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление