Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 205. Разложение дираковской плоской волны по состояниям с определенным моментом

Полученные в задаче 201 общие собственные спиноры операторов использовать для разложения плоской дираковской волны

которая обладает положительной спиральностью и распространяется в направлении оси z.

Решение. Прежде всего решим системы уравнений (201.9а) и (201.96) в случае свободного движения. Согласно задаче 190, где рассматривались плоские волны, параметр связан с энергией и импульсом соотношениями

С учетом этих соотношений система дифференциальных уравнений (201.9а) записывается в виде

Из уравнения (205.36) получаем соотношение

дифференцируя которое, находим

Подставляя последнее выражение в (205.3а), получаем для определения функции обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

Регулярное в нуле решение этого уравнения (нормировка произвольная) имеет вид

Подставляя теперь выражение (205.6) в соотношение (205.4), находим

причем штрих означает дифференцирование по переменной С помощью известной формулы

окончательно получаем

Таким образом, нормировка функции фиксирована относительно нормировки функции Если квантовое число задано и то формулы (205.6) и (205.7) позволяют записать 4-спинор (201.4а) в явном виде:

Рассмотренные в задаче 201 решения второго типа находятся из уравнений (205.3а) и (205.36), если в них произвести замену При этом функция по-прежнему будет определяться выражением (205.6). Что же касается функции то выражение для нее получается из (205.7), если там множитель перевести из числителя в знаменатель. С учетом этих замечаний 4-спинор

(201.46) запишется теперь в виде

Из полученных выше 4-спиноров можно построить волновую функцию, подобную функции (205.1), если положить

В этом разложении мы можем, разумеется, распорядиться немым индексом по своему усмотрению. Для дальнейшего удобно ввести орбитальное квантовое число I и во всех суммах, содержащих функции

(m = 0 или 1), положить В суммах же, содержащих функции

положить Учитывая далее соотношения (205.8) и (205.9), находим

Нетрудно проверить, что сумма (205.11) сводится к выражению (205.1), если

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление