Задача 208. Наклонное падение плоской волны на прямоугольную потенциальную ступеньку

Частица, описываемая дираковской плоской волной с произвольной поляризацией, наклонно падает на потенциальную ступеньку, высота которой меньше кинетической энергии частицы. Получить законы отражения и преломления, а также вычислить поляризацию прошедшей волны.

Решение. Обозначим посредством соответственно падающую, отраженную и прошедшую волны. Пусть далее волновые векторы этих волн, направления которых характеризуются соответственно сферическими углами Мы будем считать, что преломляющая плоскость совпадает с плоскостью и что волны и распространяются в области а волна в области (см. фиг. 73).

В плоскости для всех значений х и у должно выполняться соотношение

Фиг. 73. Наклонное падение плоской волны на потенциальную ступеньку.

в силу которого все три волновых вектора имеют равные проекции на оси х и у:

Мы сможем удовлетворить этим соотношениям, положив

Равенство (208.2) показывает, что все три волновых вектора лежат в одной меридиональной плоскости, которую мы можем выбрать в качестве плоскости При таком выборе «-компоненты волновых векторов обращаются в нуль Равенство (208.3) в этом случае выражает законютражения, а равенство -закон преломления, причем показатель преломления, очевидно, определяется соотношением Оба закона совпадают с соответствующими законами для нерелятивистских шредингеровских волн (см. задачу 45).

Дополнительные эффекты в релятивистской теории связаны с поляризацией волн. Полагая запишем три рассматриваемые волновые функции в стандартном представлении:

(см. скан)

Выше первые части спиноров, пропорциональные постоянным характеризуют состояния с положительной спиральностью а вторые части, пропорциональные постоянным состояния с отрицательной спиральностью —1.

Граничное условие (208.1) применительно к амплитудам дает

где

Комбинируя равенства (208.6), получаем

и

Из первой пары уравнений исключим амплитуду С, а из второй пары — амплитуду В результате у нас получатся соотношения, связывающие амплитуды прошедшей волны с амплитудами падающей волны А и В:

Среднее значение спиральности (или, иначе, продольная поляризация) падающей волны определяется выражением

Аналогичным выражением определяется и продольная поляризация прошедшей волны:

Из соотношений (208.9) находим

Последнее выражение можно значительно упростить, введя параметр и:

С учетом (208.13) выражение (208.12) принимает вид

Если в этой формуле выразить отношения через поляризации определяемые формулами (208.10) и (208.11), то нетрудно показать, что

Когда падающая волна полностью продольно поляризована , имеем

т. е. потенциальная ступенька частично деполяризует волну; однако эта деполяризация является эффектом второго порядка по параметру и. С другой стороны, в случае продольно неполяризованного пучка получаем

так что наличие потенциальной ступеньки приводит по крайней мере к частичной продольной поляризации пучка, причем этот эффект линеен по параметру и. На практике параметр и оказывается сравнительно малой величиной поэтому частичная поляризация первично неполяризованного пучка представляет больший интерес, чем частичная деполяризация пучка с вполне определенной спиральностью. В заключение следует отметить, что параметр и обращается в нуль в случае нормального падения, поэтому рассмотренные эффекты проявляются более отчетливо при скользящем падении первичного пучка.