Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 136. Тонкая структура

Взаимодействие собственного магнитного момента электрона,

с его орбитальным моментом описывается членом в гамильтониане вида

Определить обусловленное этим взаимодействием расщепление энергетических уровней.

Замечание. Так называемый g-фактор электрона очень близок к единице. Как было установлено, его точное значение равно 1,001145. Так как полную теорию тонкой структуры нельзя построить, оставаясь в рамках нерелятивистской квантовой механики, то к введенному выше -фактору не следует относиться слишком серьезно. Это же замечание в полной мере относится и к

жителю 2 в знаменателе выражения (136.2) (так называемая поправка Томаса), его появление невозможно объяснить в рамках нерелятивистской теории.

Решение. Волновая функция электрона в центральном поле есть одновременно собственная функция операторов ее угловая зависимость была установлена в одной из предыдущих задач, поэтому фигурирующий в гамильтониане (136.2) оператор можно исключить, имея в виду, что для состояния справедливо соотношение

или

Таким образом, наличие в гамильтониане члене - (136.2) в конечном счете добавляет к потенциальной энергии энергию возмущения вида

Эта энергия зависит от квантовых чисел , и поэтому при одном и том же значении I она будет различной для разных значений

В первом порядке теории возмущений поправка к уровню энергии определяется формулой 2)

Пользуясь теми же обозначениями, что и в выражениях (133.11) и (133.12) и принимая во внимание условие нормировки,

получаем

Таким образом, расщепление уровней с одним и тем же значением но различными значениями оказывается пропорциональным разности

поэтому

Заметим, что подуровень с меньшим значением располагается снизу (нормальный дублет).

Некоторое представление о величине интеграла (136.7) можно получить, взяв в качестве потенциала выражение

Так как вблизи ядра всякого атома потенциал ведет себя указанным образом и так как в этой области

то подынтегральное выражение в (136.7) пропорционально следовательно, интеграл конечен при и логарифмически расходится для -состояний, когда Поскольку -состояния не расщепляются, а лишь сдвигаются, последний результат не имеет особого значения при анализе спектрокопических данных. В аккуратной релятивистской теории трудность вообще не возникает (см. задачу 203).

И без детальных вычислений интегралов типа (136.7) можно с уверенностью сказать, что результат имеет величину порядка где а — величина такого же порядка, что и радиус атома. Так как атомные термы имеют порядок то, грубо говоря,

где - комптоновская длина волны. Она представляет собой малую величину, поэтому обсуждаемый эффект действительно носит характер тонкой структуры, и для его рассмотрения можно ограничиться, как это и было сделано, первым порядком теории возмущений.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление