Главная > Физика > Задачи по квантовой механике. Том 2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Задача 209. Отражение от прямоугольной потенциальной ступеньки при наклонном падении

Частица, описываемая плоской волной со смешанной спиральностью, падает наклонно на потенциальную ступеньку. Вычислить коэффициент отражения и доказать, что плотность тока непрерывна на поверхности, где потенциал испытывает скачок.

Решение. Плотность электрического тока

можно следующим образом выразить через компоненты спинора в стандартном представлении:

В случае плоской волны экспоненциальные множители, входящие в взаимно сокращаются. Что же касается постоянных спинорных амплитуд (208.5), то при нашем выборе системы координат, благодаря которому их можно, не нарушая общности, считать действительными. При этом, как и следовало ожидать, Для падающей волны две другие компоненты плотности тока имеют вид

Отсюда после очевидных упрощений получаем

Аналогичные формулы справедливы для отраженной волны:

и для прошедшей волны

Чтобы вычислить эти плотности токов, мы сначала выразим амплитуды через амплитуды падающей волны, решив для этого систему линейных уравнений (208.6) или эквивалентную ей систему (208.8а), (208.86). В результате элементарных, но довольно трудоемких вычислений получаем

где

Из соотношений (209.4) и (209.5) далее находим

Подставляя выражения (209.6) в соотношения (209.7), после простых, но довольно длинных преобразований получаем

и

Теперь нетрудно выразить плотности токов отраженных и прошедших частиц через плотность тока падающих частиц; например, для z-компонент, перпендикулярных плоскости, на которой

потенциал испытывает скачок, имеем

и

Пользуясь далее обозначениями (208.7), легко показать, что

и, следовательно,

Комбинируя соотношения (209.10) и (209.11) с соотношениями (209.8) и (209.9), находим

где А определяется по формуле (209.6). Из последних соотношений сразу же следует уравнение непрерывности

Отсюда же для коэффициента отражения получаем

В случае нормального падения коэффициент отражения имеет особенно простой вид:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление