Макеты страниц Задача 218. Эффект КомптонаОграничившись нерелятивистской теорией, рассмотреть рассеяние фотона на свободном покоящемся электроне. Решение. При наличии поля излучения плотность электрического тока шредингеровского поля электронов описывается формулой
а взаимодействие полей
Подставив в энергию взаимодействия вместо квантованного шредингеровского поля
а вместо квантованного поля излучения выражение
легко заметить, что энергия
Возникновение этого члена в энергии взаимодействия легко объяснимо и с точки зрения классических представлений. Напряженность электрического поля световой волны
падающей на электрон, приводит его в движение, так что
и следовательно,
В результате возникает индуцированная плотность тока
где
Если сюда подставить выражение
то в результате мы придем к формуле (218.5). При комптоновском рассеянии начальный фотон, находящийся в состоянии с квантовыми числами с квантовыми числами к и X и электроном с импульсом
Матричный элемент интересующего нас члена энергии взаимодействия (218.5) имеет вид
Фигурирующий здесь интеграл не обращается в нуль лишь при условии
т. е. в том случае, если в рассматриваемом процессе выполняется закон сохранения импульса. С учетом закона сохранения импульса выражение (218.7) принимает вид
Для определения сечения рассеяния воспользуемся золотым правилом. Имеем
где плотность конечных состояний описывается выражением
а суммарная энергия фотона и электрона в конечном состоянии имеет вид
и
Перейдем теперь к рассмотрению поляризации. На фиг. 75 импульсы фотона имеют вид
Поэтому в рассматриваемом процессе возможны лишь те переходы, при которых векторы, характеризующие поляризацию соответственно до и после рассеяния, либо оба лежат в плоскости векторов
Фиг. 75. Эффект Комптона. Векторы В первом случае вероятность перехода пропорциональна
Ниже будем предполагать, что в начальном состоянии электрон покоился. Это означает, что
тогда с учетом формулы (218.12) закон сохранения энергии можно записать в виде
Так как
то предыдущее равенство представляет собой квадратное уравнение относительно
Поскольку, далее, в силу (218.16)
то выражение (218.11) для плотности конечных состояний
Таким образом, с учетом выражений (218.9), (218.10), (218.14) и (218.18) окончательно получаем
где величина А определяется соотношением (218.17). До сих пор все наши формулы в рамках нерелятивистской теории были совершенно точными, но, разумеется, ими следует пользоваться только в том случае, если кинетическая энергия электронов мала по сравнению с
поэтому в формулах (218.17) и (218.19) целесообразно прибегнуть к разложению в ряд по степеням отношения
и
Отсюда после элементарного интегрирования по угловым переменным получаем выражение для полного сечения рассеяния:
Как хорошо известно из классической электродинамики, в длинноволновом приближении сечение рассматриваемого процесса описывается формулой Томсона:
Фигурирующий в выражении (218.21) дополнительный множитель представляет собой первую квантовую поправку, благодаря которой величина сечения уменьшается с ростом энергии фотона Замечание 1. Если Замечание 2. Если энергия фотонов велика, то для описания электронов необходимо пользоваться уравнением Дирака. При этом вместо формулы (218.21) получается формула Клейна-Нишины. Следует, однако, заметить, что наше приближение оказывается хорошим в довольно широкой области энергий. Так, например, при
|
Оглавление
|