7.4.2. Управление с помощью следящей системы

Основные понятия. Системы автоматического регулирования обеспечивают слежение за изменяемым сигналом но неизбежно вносят динамическую ошибку, поскольку сигнал управления начинает вырабатываться с момента измерения этой ошибки (обратная связь действует без опережения). Динамическая точность системы может быть исследована двумя способами:

• Если разложить функции в ряд Фурье, их составляющие будут очень близки для частот в полосе пропускания следящей системы, однако вне полосы пропускания они будут различаться очень сильно.

При управлении с помощью системы автоматического регулирования по току полосу пропускания можно оценить, исходя из первой характеристической частоты замкнутого контура:

• Другой способ состоит в представлении в виде разложения в ряд по степеням

Системы автоматического регулирования, содержащие в разомкнутом контуре только один интегратор, имеют нулевую ошибку рассогласования при действии постоянного входного сигнала, конечную ошибку при линейном входном сигнале и возрастающую ошибку при параболическом входном сигнале (если рассматривать процессы неограниченной длительности).

Когда допустимо приближение первого порядка, то

Следовательно, всегда целесообразно повышать коэффициент усиления системы автоматического регулирования. Это позволит не только уменьшить статические ошибки в определении положения, вызванные наличием постоянных внешних усилий (например, силы тяжести), но также снизить ошибки в переходном режиме. Однако коэффициент усиления ограничивается требованиями устойчивости и временем затухания (разд. 7.3). Кроме того, для осуществления заданных перемещений с высокой точностью желательно уменьшить коэффициент усиления системы автоматического регулирования, чтобы было можно использовать системы, адаптирующиеся к внешним условиям

Отметим тем не менее, что недостаточно высокое значение коэффициента усиления может привести к некоторым другим трудностям.

Прерывистость движения. Сухое трение, которым часто пренебрегают в первом приближении, может быть причиной нежелательных явлений, когда оно сопутствует, с одной стороны, силам инерции, а с другой — силам упругости механических элементов (недостаточная жесткость звеньев, сочленений или передач), гидроприводов (сжимаемость жидкости или газа) или

системы автоматического регулирования (не бесконечный коэффициент усиления).

В статике мы констатировали существование зоны нечувствительности величина которой

В динамике может появиться прерывистость движения (скачкообразность), т. е. чередование скачков и внезапных остановок, которых необходимо избегать.

Опишем данное явление для одной следящей системы (рис. 7.8) без обратной связи по скорости, но при большой; величине сухого трения (эта ситуация часто встречается при низких скоростях, когда имеется вязкое трение).

Рис. 7.15. Идеализированный закон изменения трения.

Попробуем на очень простых моделях объяснить возникновение данного явления, проявление которого различно из-за сложной природы трения взаимодействующих звеньев. Полученные результаты дают только качественное представление.

Математическое описание. Во многих случаях усилие необходимое для приведения в движение звена, находящегося в покое, превышает величину усилия прикладываемого во время движения для преодоления сил реакции. Рассмотрим идеализированный закон изменения трения от скорости (рис. 7.15). Считается, что в равновесии

и условие равновесия записывается в виде

а в движении

и уравнение движения записывается в виде

Для нашей системы автоматического регулирования движущий момент пропорционален отклонению сочленения

И мы рассматриваем случай, когда задающий сигнал линеен, т. е. когда предполагается движение с постоянной скоростью:

Запаздывание в начале движения (рис. 7.16). Система, первоначально находящаяся в покое, не может начать двигаться до тех пор, пока задающий сигнал не достигнет величины, достаточной для того, чтобы стало больше .

Рис. 7.16. Возникновение прерывистости движения под действием сухого трения.

В результате происходит задержка, равная

Движение с положительной скоростью. Пусть собственная круговая частота механической системы. Трогание с места при начале движения в момент происходит с

положительной скоростью до момента который необходимо определить. В интервале уравнение можно записать в виде

Отсюда получаем

Скорость становится равной нулю в момент определяемы», выражением

при котором положение сочленения определяется формулой

а движущий момент — выражением

До момента времени ускорение отрицательно (замедление) и движение должно было бы продолжаться с отрицательной скоростью. Но уравнение движения теряет силу при так как перемена знака скорости изменяет направление момента силы сухого трения. При уравнение движения принимает вид

Следовательно, в момент времени ускорение испытывает положительный скачок При этом возможны две ситуации:

• Движение с отрицательной скоростью. В этой первой ситуации величина сигнала недостаточна для того, чтобы изменить знак ускорения, и движение продолжается с отрицательной

скоростью по синусоидальному закону вплоть до другого нулевого значения скорости при Это возможно, если

т. е., учитывая уравнения (7.62), получим следующее неравенство:

Данное неравенство имеет место (в соответствии с формулой только в очень редком случае, т. е. когда статический момент сил трения значительно больше момента сил трения при движении т. е.

В любом случае после одного или нескольких полупериодов колебаний всегда возникает вторая ситуация.

• Прерывание движения. В этом случае скачок ускорения достаточен, чтобы изменить знак производной Это должно привести к движению с положительной скоростью, что находится в противоречии с условиями, при которых записаны уравнения (7.62). Отсюда следует, что движение прекращается.

Следовательно, система остановится в точке и будет находиться в равновесии, пока выполнено условие (7.52), т. е. в течение конечного интервала времени

Начиная с момента движение будет протекать аналогично тому, как оно происходило с момента 10. Таким образом, движение носит периодический характер с периодом

и состоит из серии скачков с амплитудой (рис. 7.16).

Итак, в соответствии с рассмотренным выше прерывистое движение проявляется в роботах при низких скоростях движения сочленений (например, для механизмов передачи, работающих при малой начальной скорости движения). Но еще чаще это явление возникает при малых перемещениях, когда имеет место трение между переносимым роботом объектом и предметами внешней среды (например, сборка с помощью активной самокорректирующейся системы).