Главная > Разное > Конструирование роботов
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2.3. СТЕПЕНИ СВОБОДЫ МАНИПУЛЯТОРА

Манипулятор приводится в действие с помощью приводов, преобразующих первичную энергию в механическую и осуществляющих вращательное или поступательное движение, которое используется (прямо или косвенно) для приведения в действие вращательного или призматического сочленения. Различные сочленения не всегда приводятся в действие независимо друг от друга. Поэтому необходимо рассмотреть несколько случаев, в частности манипуляторы с шарнирным механизмом с открытой или с замкнутой цепью.

2.3.1. Механизмы с открытой цепью

В этих механизмах каждое звено сочленено с предшествующим ему звеном и с последующим звеном а конечное звено связано только с При этом сочленений структурно независимы и могут приводиться в движение одновременно. Положение манипулятора определяется совокупностью параметров сочленений (кинематических пар)

Переменные кинематических пар. При использовании различных и отдельно управляемых приводов изменение положения конечного звена во времени может быть описано независимыми переменными, образованными из параметров сочленений. Обозначим через А вектор переменных кинематических

пар. Тогда манипулятор с открытой цепью из шести сочленений, показанный на рис. 2.5, описывается вектором

Если же, наоборот, один и тот же привод управляет движением нескольких сочленений, их параметры не являются независимыми переменными (рис. 2.6).

Рис. 2.5. Манипулятор с разомкнутой цепью с шестью переменными.

То же самое справедливо, когда различные двигатели управляются одним сигналом (рис. 2.7).

Рис. 2.6. Элемент разомкнутой цепью с одной переменной кинематической пары

При выводе кинематических уравнений манипулятора для соответствующих сочленений следует «запоминать» лишь ту «переменную», относительно которой выражаются различные: связанные между собой параметры кинематических пар.

Степени свободы. Выше уже говорилось, что число подвижных соединений манипулятора не всегда совпадает с числом независимых переменных кинематических пар

Рис. 2.7. Элемент разомкнутой цепи с одной переменной кинематической пары

Аналогично размерность вектора А не всегда равна числу степеней свободы конечного звена Это происходит по следующим причинам:

1) каково бы ни было число число обязательно меньше или равно 6;

2) выполнения условия пнедостаточно для получения равенства таким образом, манипулятор, приводимый в движение исключительно поворотом вокруг вертикальных осей, обладает не более чем тремя степенями свободы, так как допускает перемещения лишь в горизонтальной плоскости (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Плоский механизм с тремя степенями свободы.

Обозначим через преобразование, переводящее в , т. е. определяющее положение конечного звена в зависимости от переменных кинематических пар. По определению число степеней свободы манипулятора равно размерности

подпространства V пространства порожденного свободным движением сочленений:

Эта размерность определяется локальными соотношениями. Вблизи произвольного положения А конечного звена связь между малыми вариациями имеет вид

где определяется якобианом размерностью

Если обозначить столбцы как то предыдущее выражение можно записать в виде

где векторы размерностью образуют матрицу

Пусть равно рангу т. е. максимальной размерности его ненулевых детерминантов. При этом могут возникнуть следующие случаи:

. Тогда можно найти линейно-независимых векторов и -матрица составляет семейство, образующих Для любых малых скалярных величин линейная комбинация

образует пространство размерностью .

. В этом случае существует только независимых векторов и -матрица образует подпространство размерностью что в свою очередь соответствует двум различным случаям:

1) при максимальный ранг равен и условие соответствует вырождению общего случая;

2) максимальный ранг равен и условие представляет общий случай.

Итак, используя мы ставим в соответствие каждому положению А возможность локального движения с степенями свободы.

Пусть максимальное значение при тогда определяет во всех случаях размерность V и меру возможных движений, т. е. число степеней свободы манипулятора

Назовем уровнем избыточности разность между числом переменных кинематических пар и числом степеней свободы

Положения А, соответствующие рангу, меньшему являются особыми, так как возможности локального движения здесь наиболее ограниченны, а уровень избыточности наиболее высок.

Примечание. В действительности переменные кинематических пар ограничены условиями

На них могут быть наложены дополнительные ограничения с целью, например, предупреждения возникновения столкновений:

Совокупность этих ограничений сужает область определения до области размерностью (области в самом простейшем случае).

Совокупность положений, которые может принимать конечное звено, составляет, таким образом, область размерностью которая обычно является лишь частью области т. е.

2.3.2. Механизмы с замкнутой цепью

Когда совокупность звеньев манипулятора образует замкнутую цепь, включенные в нее сочленения оказываются структурно зависимыми. В качестве примера рассмотрим три плоских механизма, показанных схематически на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Механизм с замкнутой цепью. а — с тремя шарнирами; б — с четырьмя шарнирами; в — с тремя шарнирами и одной призмой.

Первый механизм (рис. 2.9, а) состоит из трех шарниров, но образует недеформируемый треугольник, который нельзя описать с помощью переменных кинематических пар. Второй механизм

(рис. 2.9, б) содержит четыре шарнира, но лишь одной из переменных можно произвольно придавать различные значения. Аналогичная ситуация для третьего механизма (рис. 2.9, в), включающего три шарнира и одно призматическое сочленение. Последние два механизма могут применяться для специальной связи между звеньями с подвижностью, равной 1.

При описании движения манипуляторов, содержащих подобные замкнутые цепи, необходимо определить максимальную совокупность независимых переменных кинематических пар и выразить в зависимости от них параметров других сочленений. Иногда сделать это довольно трудно и целесообразнее ввести вектор А размерностью при наличии ограничений в виде независимых равенств. Таким образом, получаем

Для заданного положения А можно записать следующие выражения для приращений:

Вследствие независимости наложенных ограничений ранг матрицы равен При этом перемещения сочленений удовлетворяющие ограничениям, принадлежат подпространству размерностью из Действительно столбцов матрицы являются линейно-независимыми векторами которые образуют подпространство из размерностью Эти отношений

означают ортогональность к векторам следовательно, к подпространству Отсюда следует, что есть произвольный вектор подпространства дополняющий подпространство

Пусть Н — матрица размерностью столбцы которой образуют подпространство тогда А можно записать как линейную комбинацию в виде

где Отметим, что составляющих вектора являются независимыми. Отсюда

Если описывает определяет область размерностью

Максимальное значение определяет здесь также размерность области V из образуемой свободным движением сочленений, т. е. числом степеней свободы рассматриваемого манипулятора. Возможная избыточность по-прежнему определяется превышением на

Примечание. Понятие степени свободы манипулятора введено не только для устранения искаженных представлений, возникающих из-за распространенных ошибок терминологии, но и для корректной постановки задачи синтеза. Задачи, поставленные перед манипулятором, часто могут быть охарактеризованы совокупностью траекторий в области или областью из Задачи такого типа могут выполняться манипулятором с степенями свободы, если можно найти систему переменных кинематических пар, которые образуют область V, содержащую в своей доступной части. Обычно стремятся уменьшить число

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление