является несмещенной оценкой для
Если средние значения могут отличаться от нуля
по-прежнему некоррелированы), то отношение
можно использовать для проверки нулевой гипотезы о том, что тренд
удовлетворяет условию
в предположении, что
Если средние равны нулю, а величины
могут быть коррелированы, то изменение разностей будет отражать эту корреляцию. В частности, для
математическое ожидание
равно
Если последовательные пары значений
будут положительно зависимыми, то использование статистики
приведет к занижению величины дисперсии.
Для проверки гипотезы о сериальной корреляции можно использовать статистику, являющуюся отношением суммы квадратов последовательных разностей к сумме квадратов наблюдений. Если средние известны и равны нулю, то такая статистика имеет вид
Если эту статистику рассматривать как альтернативу к циклическим квадратичным формам, то (40) приводит к
равной числителю дроби в правой части (40). Матрицей квадратичной формы
является
Она отличается от матрицы квадратичной формы
наличием 1/2 в верхнем левом и в правом нижнем углах. Последующие матрицы в этой модели можно образовать с помощью
используя соотношения (18) (вытекающие из (16) и (17)). Первые две полученные при этом матрицы имеют вид
Следует отметить, что
отличается от желательной для нас матрицы квадратичной формы
только добавлением по
элементов, равных 1/2, в левый верхний и правый нижний углы.
Определение
как полиномов от
гарантирует совпадение характеристических векторов
с характеристическими векторами матрицы
Использование тех же полиномов от
что и в системе циклических сериальных коэффициентов корреляции, приводит к тому, что при малых значениях матрицы А не будут сколько-нибудь значительно отличаться от матриц, у которых ненулевые элементы, равные 1/2, стоят на диагоналях, удаленных на
единиц от главной. Дело в том, что используемая нами в настоящем случае матрица
отличается от матрицы
только угловыми элементами. Поэтому матрица
при малых
будет отличаться от матрицы
небольшим количеством элементов.
Для характеристического вектора х с компонентами
соответствующего характеристическому корню к, удовлетворяющего соотношению
справедливы соотношения