Ãëàâíàÿ > Ïîìåõîóñòîé÷èâîå êîäèðîâàíèå > Òåîðèÿ êîäîâ, èñïðàâëÿþùèõ îøèáêè
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

12.7. ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ×ÅÍß—×Îß ÊÎÄΠÁ×Õ

Ýòè êîäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äðóãîé ÷àñòíûé êëàññ àëüòåðíàíòíûõ êîäîâ è îïðåäåëÿþòñÿ â òåðìèíàõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ (ðèñ. 12.5). Ïóñòü âçàèìíî ïðîñòû, è ïóñòü -íàèìåíüøåå ðàñøèðåíèå ïîëÿ ñîäåðæàùåå âñå êîðíè ñòåïåíè èç åäèíèöû.

Ðèñ. 12.5 Ñâîéñòâà îáîáùåíèÿ ×åíÿ — êîäîâ Á×Õ - ÎÁ×Õ

Îïðåäåëåíèå. Îáîáùåíèå êîäà Á×Õ äëèíû, íàä ïîëåì àññîöèèðîâàííîå ñ ìíîãî÷ëåíàìè -îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ìíîãî÷ëåíû ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ ñòåïåíè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì è êîòîðûå âçàèìíî ïðîñòû ñ Òîãäà -êîä ñîñòîèò èç âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ñ êîýôôèöèåíòàìè èç GF(q) òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü èõ íå ïðåâîñõîäèò è èõ ÌÑ-ìíîãî÷ëåíû óäîâëåòâîðÿþò ñðàâíåíèþ

Íàïðèìåð, äâîè÷íûé êîä ñîâïàäàåò ñ êîäîì Ãîïïû ó êîòîðîãî ìíîæåñòâî ñîñòîèò èç âñåõ êîðíåé ñòåïåíè èç åäèíèöû (ñì. ñëåäñòâèå 8).

Ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà íàõîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.

òàêîé, ÷òî (èç òåîðåìû 22 ãë. 8) ñ êîýôôèöèåíòàìè èç òàêîé, ÷òî ãäå ïîëó÷àþòñÿ èç ïóòåì îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (8.9).

òàêèå, ÷òî (Çàìåòèì, ÷òî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ, äëÿ âñåõ

Äðóãèìè ñëîâàìè, òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Íàò ãäå

Òàêèì îáðàçîì, ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàññìàòðèâàåìîãî êîäà. Îòñþäà âèäíî, ÷òî -êîä ÿâëÿåòñÿ àëüòåðíàíòíûì êîäîì, ó êîòîðîãî â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà âûáðàíû âñå êîðíè ñòåïåíè èç åäèíèöû è Ñëåäîâàòåëüíî, êîä èìååò ïàðàìåòðû ãäå

Åñëè òî êîä ÿâëÿåòñÿ êîäîì Á×Õ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå åãî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà, êàê íåòðóäíî óâèäåòü, ðàâíà

ò. å. ðàâíà ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöå êîäà Á×Õ (7.19).

Åñëè òî êîä ñîäåðæèò ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîäîâ Á×Õ è ìîæåò ñîâïàäàòü ñ ýòèì ïåðåñå÷åíèåì.

Íàïðèìåð, ïóñòü Òîãäà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàâíà

è îïðåäåëÿåò [15, 10, 4]-êîä Á×Õ ñ èäåìïîòåíòîì (ñì. óïðàæíåíèå (7) ãë. 8). Åñëè òî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàâíà

Ýòî îïðåäåëÿåò [15, 9]-êîä Á×Õ, ïîðîæäåííûé èäåìïîòåíòîì

Êîä èìååò ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó

Åñëè çàïèñàòü ýòó ìàòðèöó â äâîè÷íîì âèäå, òî âèäíî, ÷òî îäíó ñòðîêó ìîæíî âûêèíóòü; ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà îïðåäåëÿåò êîä ðàçìåðíîñòè 8, êîòîðûé íà ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öèêëè÷åñêèé êîä ñ íóëÿìè ïîðîæäåííûé èäåìïîòåíòîì

Òàê êàê ðàññìîòðåííûé êîä ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì öèêëè÷åñêîãî êîäà, íå ÿâëÿþùåãîñÿ êîäîì Á×Õ, òî èç ñëåäñòâèÿ 9 ïîëó÷àåì, ÷òî â êëàññå àëüòåðíàíòíûõ êîäîâ ñîäåðæàòñÿ öèêëè÷åñêèå êîäû, îòëè÷íûå îò êîäîâ Ãîïïû. Äàëüíåéøèå ñâîéñòâà êîäîâ è äîïîëíèòåëüíûå ïðèìåðû äàäèì â âèäå óïðàæíåíèé (ñì. òàêæå [286]).

Óïðàæíåíèÿ. (20). Äîêàçàòü, ÷òî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

(21). Äîêàçàòü, ÷òî ãäå Òàêèì îáðàçîì, ýòîò êîä ìîæåò áûòü îïðåäåëåí â òåðìèíàõ ìíîãî÷ëåíà áåç ââåäåíèÿ ìíîãî÷ëåíà Îäíàêî îïðåäåëåíèå êîäà ÷åðåç äâà ðàçëè÷íûõ ìíîãî÷ëåíà óïðîùàåò åãî àíàëèç.

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå