12.7. ÎÁÎÁÙÅÍÈÅ ×ÅÍß—×Îß ÊÎÄΠÁ×Õ
Ýòè êîäû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äðóãîé ÷àñòíûé êëàññ àëüòåðíàíòíûõ êîäîâ è îïðåäåëÿþòñÿ â òåðìèíàõ äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
(ðèñ. 12.5). Ïóñòü
âçàèìíî ïðîñòû, è ïóñòü
-íàèìåíüøåå ðàñøèðåíèå ïîëÿ
ñîäåðæàùåå âñå êîðíè ñòåïåíè
èç åäèíèöû.
Ðèñ. 12.5 Ñâîéñòâà îáîáùåíèÿ ×åíÿ —
êîäîâ Á×Õ - ÎÁ×Õ
Îïðåäåëåíèå. Îáîáùåíèå
êîäà Á×Õ äëèíû,
íàä ïîëåì
àññîöèèðîâàííîå ñ ìíîãî÷ëåíàìè
-îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü
ìíîãî÷ëåíû ñ êîýôôèöèåíòàìè èç ïîëÿ
ñòåïåíè êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
è êîòîðûå âçàèìíî ïðîñòû ñ
Òîãäà
-êîä ñîñòîèò èç âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ
ñ êîýôôèöèåíòàìè èç GF(q) òàêèõ, ÷òî ñòåïåíü èõ íå ïðåâîñõîäèò
è èõ ÌÑ-ìíîãî÷ëåíû
óäîâëåòâîðÿþò ñðàâíåíèþ
Íàïðèìåð, äâîè÷íûé êîä
ñîâïàäàåò ñ êîäîì Ãîïïû
ó êîòîðîãî ìíîæåñòâî
ñîñòîèò èç âñåõ êîðíåé ñòåïåíè
èç åäèíèöû (ñì. ñëåäñòâèå 8).
Ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà êîäà
íàõîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
òàêîé, ÷òî
(èç òåîðåìû 22 ãë. 8)
ñ êîýôôèöèåíòàìè èç
òàêîé, ÷òî
ãäå
ïîëó÷àþòñÿ èç
ïóòåì îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ (8.9).
òàêèå, ÷òî
(Çàìåòèì, ÷òî, ïî ïðåäïîëîæåíèþ,
äëÿ âñåõ
Äðóãèìè ñëîâàìè,
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Íàò
ãäå
Òàêèì îáðàçîì,
ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàññìàòðèâàåìîãî êîäà. Îòñþäà âèäíî, ÷òî
-êîä ÿâëÿåòñÿ àëüòåðíàíòíûì êîäîì, ó êîòîðîãî â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà
âûáðàíû âñå êîðíè ñòåïåíè
èç åäèíèöû è
Ñëåäîâàòåëüíî, êîä
èìååò ïàðàìåòðû
ãäå
Åñëè
òî êîä
ÿâëÿåòñÿ êîäîì Á×Õ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå åãî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà, êàê íåòðóäíî óâèäåòü, ðàâíà
ò. å. ðàâíà ïðîâåðî÷íîé ìàòðèöå êîäà Á×Õ (7.19).
Åñëè
òî êîä
ñîäåðæèò ïåðåñå÷åíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ êîäîâ Á×Õ è ìîæåò ñîâïàäàòü ñ ýòèì ïåðåñå÷åíèåì.
Íàïðèìåð, ïóñòü
Òîãäà ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàâíà
è îïðåäåëÿåò [15, 10, 4]-êîä Á×Õ ñ èäåìïîòåíòîì
(ñì. óïðàæíåíèå (7) ãë. 8). Åñëè
òî ïðîâåðî÷íàÿ ìàòðèöà ðàâíà
Ýòî îïðåäåëÿåò [15, 9]-êîä Á×Õ, ïîðîæäåííûé èäåìïîòåíòîì
Êîä
èìååò ïðîâåðî÷íóþ ìàòðèöó
Åñëè çàïèñàòü ýòó ìàòðèöó â äâîè÷íîì âèäå, òî âèäíî, ÷òî îäíó ñòðîêó ìîæíî âûêèíóòü; ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà îïðåäåëÿåò êîä ðàçìåðíîñòè 8, êîòîðûé íà ñàìîì äåëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé öèêëè÷åñêèé êîä ñ íóëÿìè
ïîðîæäåííûé èäåìïîòåíòîì
Òàê êàê ðàññìîòðåííûé êîä ÿâëÿåòñÿ ïðèìåðîì öèêëè÷åñêîãî êîäà, íå ÿâëÿþùåãîñÿ êîäîì Á×Õ, òî èç ñëåäñòâèÿ 9 ïîëó÷àåì, ÷òî â êëàññå àëüòåðíàíòíûõ êîäîâ ñîäåðæàòñÿ öèêëè÷åñêèå êîäû, îòëè÷íûå îò êîäîâ Ãîïïû. Äàëüíåéøèå ñâîéñòâà êîäîâ
è äîïîëíèòåëüíûå ïðèìåðû äàäèì â âèäå óïðàæíåíèé (ñì. òàêæå [286]).
Óïðàæíåíèÿ. (20). Äîêàçàòü, ÷òî
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
(21). Äîêàçàòü, ÷òî
ãäå
Òàêèì îáðàçîì, ýòîò êîä ìîæåò áûòü îïðåäåëåí â òåðìèíàõ ìíîãî÷ëåíà
áåç ââåäåíèÿ ìíîãî÷ëåíà
Îäíàêî îïðåäåëåíèå êîäà ÷åðåç äâà ðàçëè÷íûõ ìíîãî÷ëåíà óïðîùàåò åãî àíàëèç.