12.7. ОБОБЩЕНИЕ ЧЕНЯ—ЧОЯ КОДОВ БЧХ

Эти коды представляют собой другой частный класс альтернантных кодов и определяются в терминах двух многочленов (рис. 12.5). Пусть взаимно просты, и пусть -наименьшее расширение поля содержащее все корни степени из единицы.

Рис. 12.5 Свойства обобщения Ченя — кодов БЧХ - ОБЧХ

Определение. Обобщение кода БЧХ длины, над полем ассоциированное с многочленами -определяется следующим образом. Пусть многочлены с коэффициентами из поля степени которых соответственно удовлетворяют условиям и которые взаимно просты с Тогда -код состоит из всех многочленов с коэффициентами из GF(q) таких, что степень их не превосходит и их МС-многочлены удовлетворяют сравнению

Например, двоичный код совпадает с кодом Гоппы у которого множество состоит из всех корней степени из единицы (см. следствие 8).

Проверочная матрица кода находится следующим образом.

такой, что (из теоремы 22 гл. 8) с коэффициентами из такой, что где получаются из путем обращения преобразования (8.9).

такие, что (Заметим, что, по предположению, для всех

Другими словами, тогда и только тогда, когда Нат где

Таким образом, проверочная матрица рассматриваемого кода. Отсюда видно, что -код является альтернантным кодом, у которого в качестве множества выбраны все корни степени из единицы и Следовательно, код имеет параметры где

Если то код является кодом БЧХ, так как в этом случае его проверочная матрица, как нетрудно увидеть, равна

т. е. равна проверочной матрице кода БЧХ (7.19).

Если то код содержит пересечение соответствующих кодов БЧХ и может совпадать с этим пересечением.

Например, пусть Тогда проверочная матрица равна

и определяет [15, 10, 4]-код БЧХ с идемпотентом (см. упражнение (7) гл. 8). Если то проверочная матрица равна

Это определяет [15, 9]-код БЧХ, порожденный идемпотентом

Код имеет проверочную матрицу

Если записать эту матрицу в двоичном виде, то видно, что одну строку можно выкинуть; следовательно, матрица определяет код размерности 8, который на самом деле представляет собой циклический код с нулями порожденный идемпотентом

Так как рассмотренный код является примером циклического кода, не являющегося кодом БЧХ, то из следствия 9 получаем, что в классе альтернантных кодов содержатся циклические коды, отличные от кодов Гоппы. Дальнейшие свойства кодов и дополнительные примеры дадим в виде упражнений (см. также [286]).

Упражнения. (20). Доказать, что тогда и только тогда, когда

(21). Доказать, что где Таким образом, этот код может быть определен в терминах многочлена без введения многочлена Однако определение кода через два различных многочлена упрощает его анализ.