11.3. ВЕСОВОЙ СПЕКТР КОДА МДР

Интересно, что весовой спектр Хэмминга кода МДР полностью известен.

Теорема 4. Пусть -код над Тогда представляет собой МДР код, если и только если в коде найдется слово минимального веса, ненулевые элементы которого занимают любые позиций.

Доказательство. (Необходимость.) Пусть заданы любые координат. Выберем в качестве информационных символов дополнительных координат и одну из заданных (это можно сделать согласно следствию 3). Полагая, что эта единственная координата равна 1, а остальные координат равны О, получаем кодовое слово веса Доказательство достаточности предоставляется читателю.

Следствие 5. Число кодовых слов веса в коде равно

Код МДР имеет не более различных ненулевых весов, а именно а минимальное расстояние дуального кода равно Следовательно, по теореме 29 гл. 6 кодовые слова веса образуют -схему, которая, впрочем, по теореме 4 этой главы тривиальна.

Теорема 4 гл. 6 также определяет весовой спектр, но в этом случае легче воспользоваться уравнениями Мак-Вильямс в форме, приведенной в упражнении (6) гл. 5, а именно:

Так как выражение переписывается в следующем виде

Полагая получаем, что

Нетрудно догадаться (а затем проверить), что общее решение таково:

Итак, мы доказали следующую теорему.

Теорема 6. Число кодовых слов веса w в -коде МДР над полем GF(q) равно:

Заметим, что

Это число должно быть неотрицательным, и поэтому справедлив следующий результат.

Следствие 7. Пусть -код МДР. Если то Если же , то

Доказательство. Второе утверждение следует из рассмотрения весового спектра дуального кода

Упражнения. (4). Доказать достаточное условие в теореме 4.

(5). Действительный код состоит из всех линейных комбинаций с действительными коэффициентами строк порождающей матрицы где действительные числа. Объяснить тот факт, что большинство подобных кодов являются кодами МДР.

Задача (нерешенная). (11.2). Что можно сказать о полной весовой функции (см. § 5.6) кода МДР или даже кода