Ãëàâíàÿ > Ïîìåõîóñòîé÷èâîå êîäèðîâàíèå > Òåîðèÿ êîäîâ, èñïðàâëÿþùèõ îøèáêè
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô
Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Ìàêåòû ñòðàíèö

11.3. ÂÅÑÎÂÎÉ ÑÏÅÊÒÐ ÊÎÄÀ ÌÄÐ

Èíòåðåñíî, ÷òî âåñîâîé ñïåêòð Õýììèíãà êîäà ÌÄÐ ïîëíîñòüþ èçâåñòåí.

Òåîðåìà 4. Ïóñòü -êîä íàä Òîãäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÌÄÐ êîä, åñëè è òîëüêî åñëè â êîäå íàéäåòñÿ ñëîâî ìèíèìàëüíîãî âåñà, íåíóëåâûå ýëåìåíòû êîòîðîãî çàíèìàþò ëþáûå ïîçèöèé.

Äîêàçàòåëüñòâî. (Íåîáõîäèìîñòü.) Ïóñòü çàäàíû ëþáûå êîîðäèíàò. Âûáåðåì â êà÷åñòâå èíôîðìàöèîííûõ ñèìâîëîâ äîïîëíèòåëüíûõ êîîðäèíàò è îäíó èç çàäàííûõ (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3). Ïîëàãàÿ, ÷òî ýòà åäèíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà ðàâíà 1, à îñòàëüíûå êîîðäèíàò ðàâíû Î, ïîëó÷àåì êîäîâîå ñëîâî âåñà Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.

Ñëåäñòâèå 5. ×èñëî êîäîâûõ ñëîâ âåñà â êîäå ðàâíî

Êîä ÌÄÐ èìååò íå áîëåå ðàçëè÷íûõ íåíóëåâûõ âåñîâ, à èìåííî à ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå äóàëüíîãî êîäà ðàâíî Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 29 ãë. 6 êîäîâûå ñëîâà âåñà îáðàçóþò -ñõåìó, êîòîðàÿ, âïðî÷åì, ïî òåîðåìå 4 ýòîé ãëàâû òðèâèàëüíà.

Òåîðåìà 4 ãë. 6 òàêæå îïðåäåëÿåò âåñîâîé ñïåêòð, íî â ýòîì ñëó÷àå ëåã÷å âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàê-Âèëüÿìñ â ôîðìå, ïðèâåäåííîé â óïðàæíåíèè (6) ãë. 5, à èìåííî:

Òàê êàê âûðàæåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå

Ïîëàãàÿ ïîëó÷àåì, ÷òî

Íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ (à çàòåì ïðîâåðèòü), ÷òî îáùåå ðåøåíèå òàêîâî:

Èòàê, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.

Òåîðåìà 6. ×èñëî êîäîâûõ ñëîâ âåñà w â -êîäå ÌÄÐ íàä ïîëåì GF(q) ðàâíî:

Çàìåòèì, ÷òî

Ýòî ÷èñëî äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì, è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Ñëåäñòâèå 7. Ïóñòü -êîä ÌÄÐ. Åñëè òî Åñëè æå , òî

Äîêàçàòåëüñòâî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàññìîòðåíèÿ âåñîâîãî ñïåêòðà äóàëüíîãî êîäà

Óïðàæíåíèÿ. (4). Äîêàçàòü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå â òåîðåìå 4.

(5). Äåéñòâèòåëüíûé êîä ñîñòîèò èç âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòðîê ïîðîæäàþùåé ìàòðèöû ãäå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Îáúÿñíèòü òîò ôàêò, ÷òî áîëüøèíñòâî ïîäîáíûõ êîäîâ ÿâëÿþòñÿ êîäàìè ÌÄÐ.

Çàäà÷à (íåðåøåííàÿ). (11.2). ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ïîëíîé âåñîâîé ôóíêöèè (ñì. § 5.6) êîäà ÌÄÐ èëè äàæå êîäà

<< Ïðåäûäóùèé ïàðàãðàô Ñëåäóþùèé ïàðàãðàô >>
Îãëàâëåíèå