11.3. ÂÅÑÎÂÎÉ ÑÏÅÊÒÐ ÊÎÄÀ ÌÄÐ
Èíòåðåñíî, ÷òî âåñîâîé ñïåêòð Õýììèíãà êîäà ÌÄÐ ïîëíîñòüþ èçâåñòåí.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü
-êîä íàä
Òîãäà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÌÄÐ êîä, åñëè è òîëüêî åñëè â êîäå
íàéäåòñÿ ñëîâî ìèíèìàëüíîãî âåñà, íåíóëåâûå ýëåìåíòû êîòîðîãî çàíèìàþò ëþáûå
ïîçèöèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. (Íåîáõîäèìîñòü.) Ïóñòü çàäàíû ëþáûå
êîîðäèíàò. Âûáåðåì â êà÷åñòâå èíôîðìàöèîííûõ ñèìâîëîâ
äîïîëíèòåëüíûõ êîîðäèíàò è îäíó èç çàäàííûõ (ýòî ìîæíî ñäåëàòü ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 3). Ïîëàãàÿ, ÷òî ýòà åäèíñòâåííàÿ êîîðäèíàòà ðàâíà 1, à îñòàëüíûå
êîîðäèíàò ðàâíû Î, ïîëó÷àåì êîäîâîå ñëîâî âåñà
Äîêàçàòåëüñòâî äîñòàòî÷íîñòè ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ.
Ñëåäñòâèå 5. ×èñëî êîäîâûõ ñëîâ âåñà
â êîäå ðàâíî
Êîä ÌÄÐ èìååò íå áîëåå
ðàçëè÷íûõ íåíóëåâûõ âåñîâ, à èìåííî
à ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå äóàëüíîãî êîäà ðàâíî
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 29 ãë. 6 êîäîâûå ñëîâà âåñà
îáðàçóþò
-ñõåìó, êîòîðàÿ, âïðî÷åì, ïî òåîðåìå 4 ýòîé ãëàâû òðèâèàëüíà.
Òåîðåìà 4 ãë. 6 òàêæå îïðåäåëÿåò âåñîâîé ñïåêòð, íî â ýòîì ñëó÷àå ëåã÷å âîñïîëüçîâàòüñÿ óðàâíåíèÿìè Ìàê-Âèëüÿìñ â ôîðìå, ïðèâåäåííîé â óïðàæíåíèè (6) ãë. 5, à èìåííî:
Òàê êàê
âûðàæåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå
Ïîëàãàÿ
ïîëó÷àåì, ÷òî
Íåòðóäíî äîãàäàòüñÿ (à çàòåì ïðîâåðèòü), ÷òî îáùåå ðåøåíèå òàêîâî:
Èòàê, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó.
Òåîðåìà 6. ×èñëî êîäîâûõ ñëîâ âåñà w â
-êîäå ÌÄÐ íàä ïîëåì GF(q) ðàâíî:
Çàìåòèì, ÷òî
Ýòî ÷èñëî äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì, è ïîýòîìó ñïðàâåäëèâ ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.
Ñëåäñòâèå 7. Ïóñòü
-êîä ÌÄÐ. Åñëè òî
Åñëè æå
, òî
Äîêàçàòåëüñòâî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñëåäóåò èç ðàññìîòðåíèÿ âåñîâîãî ñïåêòðà äóàëüíîãî êîäà
Óïðàæíåíèÿ. (4). Äîêàçàòü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå â òåîðåìå 4.
(5). Äåéñòâèòåëüíûé êîä ñîñòîèò èç âñåõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ñòðîê ïîðîæäàþùåé ìàòðèöû
ãäå
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Îáúÿñíèòü òîò ôàêò, ÷òî áîëüøèíñòâî ïîäîáíûõ êîäîâ ÿâëÿþòñÿ êîäàìè ÌÄÐ.
Çàäà÷à (íåðåøåííàÿ). (11.2). ×òî ìîæíî ñêàçàòü î ïîëíîé âåñîâîé ôóíêöèè (ñì. § 5.6) êîäà ÌÄÐ èëè äàæå êîäà