Главная > Помехоустойчивое кодирование > Теория кодирования
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4.7.2. Метод декодирования

Пусть соответственно переданный кодовый вектор и вектор ошибок. Принятый вектор обозначим через и. Положим Определяя многочлен с помощью формулы (4.45), из соотношения (4.46) получаем

Так как не имеет кратных корней, то, согласно формуле (4.43),

Следовательно,

Положим

Многочлен может быть найден по принятому вектору. Имеет место следующее соотношение:

Так как четное число, то положим Далее будем предполагать, что или, что то же самое,

Задача заключается в том, чтобы найти по заданному многочлену такой многочлен что

Сначала покажем, что многочлен, являющийся решением этой задачи, определяется однозначно с точностью до свободного члена. Пусть -многочлен с коэффициентами из не имеющий кратных корней. Если предположить, что и

то а следовательно, Так как то так что Так как не имеет кратных корней, то взаимно простые, а поэтому Аналогично получаем, что значит,

Далее для простоты рассмотрим лишь случай, когда не имеет кратных корней. При этом, определяя с помощью равенства (4.60), предварительно заменив в нем на получим

Если -многочлен степени не больше такой, что

то Так как является полным квадратом, то Следовательно, и с точностью до свободного члена решение определяется однозначно. Решение сравнения (4.61) имеет следующий вид:

Подставляя это решение в формулу (4.61), после несложных преобразований получаем

Пусть матрица размера у которой диагональные элементы с четными номерами равны 1, а остальные элементы равны матрица размера элемент которой равен . В этих обозначениях уравнение (4.62) будет иметь следующий вид:

Из единственности решения следует, что матрица является невырожденной, если и вырожденной, если Таким образом, мы получили следующий алгоритм декодирования. (Если , будем считать, что

1) По принятому вектору находится Если то принимается решение о том, что ошибок при передаче не было. Если то переходят к шагу 2.

2) Для каждого находится остаток от деления

3) Строится матрица Если полученная матрица является вырожденной, то к компоненте прибавляется единица и осуществляется переход к шагу 1. Если полученная матрица оказывается невырожденной, то находится решение уравнения

и далее определяется

4) Подставляя в последовательно элементы находят все корни уравнения Компоненты принятого вектора с номерами заменяются на противоположные.

Как следует из утверждения 4.29, минимальный вес «хороших» кодов Гоппы значительно превышает правые части (4.54) и (4.55). Однако хороших методов исправления ошибок веса более чем неизвестно. В тех случаях, когда ошибки веса до исправляются, а ошибки большего веса обнаруживаются, вероятность ошибочного декодирования обычно тем меньше, чем больше так что с этой точки зрения «хорошие» коды Гоппы более предпочтительны, чем примитивные БЧХ-коды, для которых меньше приблизительно в полтора раза.

Пример 4.16 [53]. Пусть Так как в этом случае многочлен не должен иметь корней среди элементов то он должен выбираться из многочленов, неприводимых над или их произведений. Пусть а — примитивный элемент его минимальный многочлен. Упорядочим элементы следующим образом:

Так как элемент имеет порядок 5 и его минимальный многочлен есть то сумма корней равна 1. Тогда, согласно утверждению 2.10, многочлен является неприводимым над и его можно использовать в качестве . С помощью таблицы из задачи 2.59 можно проверить, что

В этом случае матрица (4.49) имеет вид

Если представить эту матрицу в двоичном виде, то она будет иметь следующий вид:

Так как ранг этой матрицы равен 8, то код имеет 8 проверочных и 8 информационных символов.

Предположим, что ошибки возникли в 1-й и 5-й компонентах. Тогда

Уравнения (4.59) имеют вид

Следовательно, . В этом случае, как легко проверить, Из примера 4.15 следует, что расширенный код кода Гоппы, рассмотренного в данном примере, эквивалентен циклическому -коду с минимальным весом 6 (принадлежащему классу БЧХ-кодов из утверждения 4.4).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление