Главная > Помехоустойчивое кодирование > Теория кодирования
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6.9.2. Нижняя граница Гилберта для сверточных кодов при декодировании с обратной связью

Нижняя граница Гилберта для сверточных кодов, используемых при декодировании с обратной связью, для произвольных скоростей передачи была получена Возенкрафтом [1], когда В общем случае нижняя граница выводится аналогично, в частности, использованный ниже метод вывода этой границы может быть непосредственно обобщен на случай произвольных кодов.

В случае блоки представляют собой просто двоичные символы а матрицы вырождаются в вектор-столбцы

При

Вектор в левой части (6.174) назовем -вектором, матрицу размера в правой части — информационной матрицей, а вектор информационным вектором. Вектор-строку, компонентами которого являются компоненты информационного вектора и -вектора, связанные между собой равенством (6.174), будем называть начальным кодовым вектором. Начальный кодовый вектор состоит из двоичных символов, из которых являются компонентами информационного вектора, а остальные -компонентами -вектора. Говорят, что некоторый код имеет

минимальное расстояние строго меньшее если вес некоторого его начального кодового вектора меньше Всего имеется двоичных векторов длиной и веса или менее. Далее потребуется следующая известная оценка сверху для указанной выше суммы в следующей лемме.

Лемма 6.2.

где функция, называемая энтропией и определяемая равенством

Доказательство. Лемму 6.2 можно доказать различными способами. Здесь, следуя Парку [20], докажем ее методом математической индукции. Для этого положим

1. В случае и (6.175) выполняется со знаком равенства.

2. В случае

3. В случае справедливость неравенства (6.175) докажем индукцией. Предположим, что неравенство (6.175) имеет место при и и докажем его справедливость при Сначала заметим, что

и, следовательно,

Оценивая слагаемые в правой части (6.179) с помощью неравенства (6.175), которое по предположению индукции выполняется при данных и и полагая

после несложных преобразований находим, что

Покажем, что а и этим завершим доказательство леммы. Логарифмируя выражения (6.180) и (6.181) и используя неравенство получаем

Отсюда следует, что

Так как и при всех то следовательно, Лемма 6.2 доказана.

Используя неравенство (6.175), сумму можно оценить сверху следующим образом:

Так как в случае информационная матрица в (6.174) имеет ранг то доля кодов, таких, что заданный информационный вектор с и произвольный фиксированный -вектор являются решением (6.174) (т. е. доля кодов, содержащих начальное кодовое слово, образованное заданным информационным вектором с и заданным -вектором), равна Следовательно, доля кодов, содержащих по крайней мере одно из начальных кодовых слов веса или менее, не превосходит (здесь мы воспользовались неравенством (6.186)). Отсюда в свою очередь следует, что если по крайней мере одни из кодов имеет минимальное расстояние или более. Логарифмируя последнее неравенство и учитывая, что указанное выше условие существования кода с минимальным расстоянием или более перепишем в виде или, что то же самое, Если этот результат обобщить на случай произвольных кодов, то получится следующая теорема.

Теорема 6.7. Существует по крайней мере один сверточный код со скоростью передачи кодовым ограничением и минимальным расстоянием где наибольшее целое число, удовлетворяющее условию

Граница, задаваемая формулой (6.187), называется границей Гилберта для сверточных кодов.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление